Econometria: Modelo de Probabilidad Lineal

EModelo de probabilidad lineal

Donde se quiere explicar el comportamiento, mejor dicho la probabilidad de admisión a un programa de post grado con base en las calificaciones cuantitativas y verbales del GRE  (se desea estimar la probabilidad de que un aspirante a un programa de post grado sea admitido con base a las calificaciones cuantitativas y verbales del GRE) con ello se dispone de información para cada uno de los 13 estudiantes, las calificaciones del examen de actitud GRE y el resultado de ser o no ser admitido al programa de post grado

Y_i = B₁ + B₂X_i + u_i

El valor esperado condicional de Y dado X_i representa la probabilidad de ocurrencia del evento, para el presente caso:

 Y = 1 si el estudiante es admitido al programa de post grado

 Y = 0 De lo contrario

E (Y_i/X_i) = B₁ + B₂X_i  la probabilidad de que el alumno sea admitido a la escuela de post grado

En un modelo de probabilidad lineal se presentara los siguientes problemas:

1.       No normalidad de las perturbaciones u_i; u_i al igual Y_i sigue distribución Bernuli (por qué Y puede tomar 2 únicos valores 1 o 0).

Para realizar la prueba de hipótesis, anteriormente habíamos visto que ui debe seguir distribución normal; por lo que se recomen erada trabajar con tamaño de muestra grande (como sabemos aplicando el teorema de la distribución normal asintótica, si una variable sigue distribución normal bernuli o cualquier  tipo de distribución de probabilidad a medida de que su tamaño de muestra crece su distribución se hace normal.

2.       Varianzas heterocedásticas de las perturbaciones, se puede demostrar que la varianza de ui condicional a los valores que tome la variable explicativa X no permanece constante. Var (u_i) = P_i (1 -P_i).

Para poder estimar un modelo que adolezca del problema de heterocedasticidad aplicamos mínimos cuadrados ponderados. Para el ejemplo presentado el factor de ponderación w = P_i (1 -P_i) para demostrar el modelo debemos dividir a cada uno de sus modele entre la raíz cuadrada de w de esta manera formula  (15.2.9).

3.       No cumplimiento de 0  ≤  E (Yi/X)≤1. En el modelo de probabilidad lineal Y_i (sombrero) puede tomar valores superiores a la 1 o menores que 0; motivo por el cual cuando la probabilidad estimada ( Y_i sombrero sea mayor que 1, se tomara como si fuera igual a la unidad y cuando sea menor que 0, se tomara como si fuera 0)

4.       Valor cuestionable de R². Generalmente se encontrara coeficientes de determinación bajos (pendientes a 0) se debe q a que los valores de Y son iguales a 1 o 0.

 Ejercicio

Nro. de estudiante	Calificación de oral y escrito	Admitido al programa de post grado (si = 1, No = 0)
1	1310	1
2	950	0
3	1040	0
4	1340	1
5	960	0
6	1220	0
7	1300	1
8	1330	1
9	1180	0
10	1050	0
11	1150	0
12	1190	1
13	1490	1

Aplicaremos mínimo cuadrados ordinarios solo por motivos metodológicos, pues ui no sigue distribución normal (entonces por lo tanto Yi tampoco seguiría )

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 09/13/11   Time: 11:24
Sample: 1 13
Included observations: 13
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-2.587130	0.704368	-3.672982	0.0037
X	0.002555	0.000585	4.364764	0.0011
R-squared	0.633958	Mean dependent var		0.461538
Adjusted R-squared	0.600681	S.D. dependent var		0.518875
S.E. of regression	0.327886	Akaike info criterion		0.748334
Sum squared resid	1.182598	Schwarz criterion		0.835249
Log likelihood	-2.864172	Hannan-Quinn criter.		0.730469
F-statistic	19.05117	Durbin-Watson stat		2.658970
Prob(F-statistic)	0.001127

Y = -2. 587130 + 0.002555X

Interpretaciones del coeficiente de regresión B2 si las calificaciones del alumno varia en 1 unidad la probabilidad de que sea admitido al programa de post grado aumenta en 0.002555.

Así también se puede encontrar la probabilidad de ocurrencia del evento para cada 1 de los 13 alumnos:

Y lo único que tenemos que hacer es remplazar los valores de tabla en la regresión esperada

Para el alumno 1:

X = 1310

Y = -2. 5871 + 0.0026X

Y = -2. 587130 + 0.002555 (1310)

Y = -2. 587130 + 3.34705

Y = 0.82

Para el alumno 2

X = 950

Y = -2. 5871 + 0.0026X

Y = -2. 5871 + 0.0026 (950)

Y = -2.5871 + 2.47

Y = -0.12

Para el alumno 13

X =1490

Y = -2. 5871 + 0.0026X

Y = -2. 5871 + 0.0026 (1490)

Y = -2. 5871 + 3.874

Y = 1.29

Aplicando las pruebas para comprobar heterocedasticidad:

Glejser: la varianza heterocedastica es ocasionada por las calificaciones en su forma lineal

O²_i = O²X_i si esto se cumple el modelo original tendrá que ser dividido por su raíz cuadrad de X

F cal: 0.59028                     P (1,11) = 0.4589 

Homecedasticidad; alfa = 5% se acepta la hipótesis nula de homocedasticidad

cald ≥ crit (se acepta)