Econometria: Modelo de Koyck

EL MODELO DE KOYCK

El modelo de expectativas adaptativas

1) Supongamos que tenemos el modelo:

 Y_t = B₀ + B₁ X_t^*  +u_t

                donde: 

Y_t :  demanda de dinero;

                 X_t^*: tasa de interés esperado, normal, o  de largo plazo

2) La variable de expectativa:  X_t^*  no es directamente observable

3) Por lo cual se propone la siguiente hipótesis que describe como se forma las expectativas:

                X_t^* -  X^*_t-1 = θ ( X_t – X^*_t-1 ); donde 0< θ≤1

4) La hipótesis implica que los agentes económicos adaptaran sus expectativas a la luz de la experiencia pasada, es decir aprenderán de sus errores

5) X_t^* -  X^*_t-1 : brecha entre el valor esperado actual y el valor esperado en el periodo             anterior ( X_t – X^*_t-1 ): brecha entre el valor actual y su valor esperado anterior

6) Las expectativas son corregidas en cada periodo por una fracción  θ  de la brecha entre el valor actual de la variable y su valor esperado anterior

Derivación del modelo de expectativas adaptativas

1)      Y_t = B₀ + B₁ X_t^*  +u_t

2)      X_t^* -  X^*_t-1 = ɵ ( X_t – X^*_t-1)=>

                X_t^* = ɵ X_t +(1-  ɵ ) X^*_t-1

3)      Sustituyendo (2) en (19

Y_t = B₀ + B₁ [ ɵ X_t +(1-  ɵ ) X^*_t-1] +u_t

4) Y_t = B₀ + B₁ ɵ X_t + B₁ (1-  ɵ ) X^*_t-1 +u_t

5) Especificando (1) para el tiempo t-1 :

Y_t-1 = B₀ + B₁ X^*_t-1  +u_t-1

6) Multiplicando (5) por (1- ɵ ) tenemos:

(1- ɵ ) Y_t-1=(1- ɵ )B₀ + (1- ɵ ) B₁ X^*_t-1  + (1- ɵ )u_t-1

7) Restando  (6) de (4) :

Y_t- (1- ɵ )Y_t-1=B₀ -(1- ɵ )B₀+ɵB₁X_t +u_t - (1- ɵ ) u_t-1

 Y_t= ɵB₀ + ɵB₁ X_t  + (1- ɵ ) Y_t-1 +  u_t -  (1- ɵ ) u_t-1

=>Y_t= ɵB₀ + ɵB₁ X_t  + (1- ɵ ) Y_t-1 +  v_t ( el modelo de expectativas adaptativas)

El modelo de ajuste de existencia o de ajuste parcial

1)    Supongamos que tenemos el modelo:

                Y_t^*  = B₀  + B₁ X_t +u_t;

donde:

                Y_t^* : Nivel de existencias de capital deseado o de largo plazo

X_t :  Nivel de producción

2) Como Y_t^* es una variable que no es directamente observable Se postula la siguiente hipótesis:
                Y_t – Y_t-1  = δ ( Y_t^*  - Y_t-1 ); tal que: 0< δ≤ 1

3)  Y_t – Y_t-1 :    cambio observado

                ( Y_t^*  - Y_t-1 ): cambio deseado  o de largo plazo

4) Se postula que el cambio observado en las existencia de capital (Inversión) en cualquier momento del tiempo t es una fracción δ del cambio deseado en ese periodo

Derivación del modelo de ajuste de existencias

1)      Tenemos que: Y_t^*  = B₀  + B₁ X_t +u_t;

2)      Hipótesis de ajuste parcial:

                 Y_t – Y_t-1  = δ ( Y_t^*  - Y_t-1 )

Þ      Y_t = δ Y_t^*  + (1- δ) Y_t-1

       3) Sustituyendo (1) en (2) tenemos:

                Y_t = δ(B₀  + B₁ X_t +u_t) + (1- δ) Y_t-1

=>Y_t = δ(B₀ ) + δ B₁ X_t + δ u_t) + (1- δ) Y_t-1

=>Y_t = δ B₀  + δ B₁ X_t + (1- δ) Y_t-1 + δ u_t ( Modelo de ajuste parcial)

Modelos de expectativas adaptativas y de ajuste parcial

1)      Considérese el modelo: Y_t^*  = B₀  + B₁ X_t^* +u_t;

2)      Donde Y_t^* = existencias d capital deseado

                           X_t^* = nivel de producción deseado

3)      En este caso tenemos que utilizar las dos hipótesis sobre las variables de expectativas.

4)      Y_t = δ Y_t^*  + (1- δ) Y_t-1

5)      X_t^* = ɵX_t +(1-  ɵ ) X^*_t-1

Estimación de modelos autorregresivos

1)      Los modelos de Koyck, de expectativas adaptativas, y de ajuste parcial son modelos autorregresivos:

2)       los modelos autorregresivos son  modelos que tienen como variables explicativas a variables rezagadas de la variable endógena, es decir son de la forma siguiente:

3)      Y_t = ɸ₀ + ɸ₁ X_t + ɸ₂ Y_t-1 + ɸ₃  Y_t-2 +  …+   u_t

4)      Y_t = α₀ + B₀ X_t + λ Y_t-1  + λ u_t

                 Y_t= ɵB₀ + ɵ B₁ X_t  + (1- ɵ ) Y_t-1 + u_t -  (1- ɵ ) u_t-1

                 Y_t = δ B₀  + δ B₁ X_t + (1- δ) Y_t-1 + δ u_t

5)      Los modelos autorregresivos tienen dos  problemas de estimación que son:

a)      Estos modelos están autocorrelacionados, es decir:

                E( v_t v_t-1) ≠0

b)      La covarianza de su variable aleatoria con la variable explicativa Y_t-1  es diferente de cero, es decir la variable aleatoria esta correlacionada con la variable explicativa Y_t-1

                cov(v_{t  ,}Y_t-1 ) ≠ 0

6)      El modelo de Koyck y el modelo de expectativas adaptativas no cumple con dos de los supuestos del MCO.

Las violaciones de estos supuestos de MCO dan lugar a estimadores sesgados e inconsistentes

c)       La implicación de encontrar que en el modelo de Koyck igual que en el modelo de expectativas adaptativas, la variable explicativa estocástica:

                Y_t-1, este correlacionada con el termino de error v_t es que los estimadores MCO no solamente están sesgados sino que además, no son consistentes ( aun si el tamaño de la muestra se aumenta indefinidamente los estimadores no se aproximan a sus valores poblacionales)

—  Sin embargo el modelo de ajuste parcial es diferente. En este modelo v_t=δu_t, donde 0<δ≤1. Por consiguiente, si u_t satisface los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, igual lo hará δu_t, por tanto, la estimación MCO del modelo de ajuste parcial tendrá estimaciones consistentes aun cuando las estimaciones tiendas a estar sesgadas ( en muestras finitas o pequeñas)

Demostrar para el modelo de Koyck:

1)      E( v_t  v_t-1) = -λ σ²

2)      cov( v_t y_t-1)= -λσ²

Para corregir estos problemas el modelo Koyck y el modelo de expectativas adaptativas se estima utilizando el Método  de variables instrumentales que dará estimaciones consistentes y sesgadas en muestras pequeñas, sin embargo, el método de variables instrumentales puede a su vez generar el problema de multicolinealidad, por  ende el método mas adecuado para estimar estos modelos es el método de la máxima verosimilitud

La prueba h de Durbin para detectar la autocorrelacion

1)      La prueba de Durbin Watson no puede ser utilizado para detectar la autocorrelacion en los modelos autorregresivos ( como son el modelo de Koyck, y el modelo de expectativas adaptativas y el modelo de ajuste de existencias), debido al siguiente hecho:

2)      2)Sabemos que en la prueba de Durbin Watson, el estadístico “d” calculado debe estar alrededor de “2”  para que el modelo sometido a prueba de autocorrelacion no este autocorrelacionado.

3)      3)En los modelos autorregresivos, el estadístico “d” calculado tiende siempre a  2, por ende, mediante la prueba de Durbin Watson no se puede detectar la autocorrelacion en la variable aleatoria µ_t en estos modelos.

4)      4) En vista de ello se ha propuesto la prueba h de Durbin para muestras grandes para detectar la autocorrelacion de primer orden en los modelos autorregresivos

( u_t = p u_t-1   +ε_t )

5)      En esta prueba se utiliza el estadístico h

                h= p√ n/1- n(var a₂)

                donde:

                n= tamaño de la muestra

                var(a₂) = varianza del coeficiente del rezago Y_t-1

                P= estimación de p (coeficiente de correlación serial de primer orden), donde p se puede calcular con:

                p= 1-d/2; donde d: el estadístico de Durbin Watson

6)      Para un tamaño de muestra grande( asintótica) Durbin demostró que, bajo la hipótesis nula de que p=0, h sigue una distribución normal estándar, es decir h ~N(0,1)

A un nivel de significación del 5%:  ׀h׀>1.96, por consiguiente, si en una aplicación: ׀h׀>1.96 , se puede rechazar la hipótesis nula de que p=0, es decir existe evidencia de que existe autocorrelacion de primer orden en el modelo autorregresivo dado

a)            H₀: P=0   (hay autocorrelacion )

                H_A :P ≠ 0(No hay autocorelacion )

b)          si ׀h׀ > 1.96 => se rechaza H₀ y se  acepta la H_A, es decir, que hay evidencia de                                          autocorrelacion en el modelo.

EJEMPLO DE APLICACIÓN

1)      M^*_t = B₀ R   Y   e        

2)      Donde:

                 M^*_t = Demanda de dinero deseada o de largo

                                     plazo

                 R_t  = tasa de interés a largo plazo

                  Y_t  = ingreso nacional real

     3) Estimar el modelo

    4) Determinar las elasticidades a corto plazo

    5) Determinar las elasticidades a largo plazo

• Se estimo el modelo anterior para la economía dela india para el periodo 1948-1965:

Ln M_t=1.5484- 0.1041 Ln R_t +0.6859 Ln Y_t + 0.5297Ln M_t-1

                  (0.8336)  (0.3710)          (0.3859)            (0.2013)

         (1.857)    (-0.2807)         (1.777)              (2.631)

R = 0.94; d= DW= 1.88

2) El modelo a corto plazo fue:

Ln M_t = δLn B₀ +B₁ δLn R_t + B δLnY_t + (1-δ)ln M_t-1 +δu_t

3) El modelo a largo plazo fue:

Ln M^*_t = lnB₀ + B₁ ln R_t + B₂ ln Y_t + u_t

4) El modelo original a largo plazo fue:

M^*_t  =  B₀  R    Y   e