Econometria: Modelo Poisson

EL MODELO DE POISSON

1)      Otro tipo de variable dependiente no negativa  es una variable de recuento, o de cuenta que puede adoptar valores enteros no negativos: (0,1,2,3,4.. )

2)      Existen muchos fenómenos en la que la variable regresada( o variable dependiente) es del tipo de cuenta; por ejemplo:

Ø  El numero de vacaciones tomadas por una familia durante un año

Ø  El número de hijos que ha tenido una mujer

Ø  El número de visitas a un dentista o a un doctor durante un año

Ø  El numero de vistas al museo durante un año

Ø  El número de infracciones que ha tenido un automovilista durante un año

Ø  El número de veces que exporta un empresario durante un año

3)      ¿Cómo se hacen los modelos para estos fenómenos?

4)      La distribución de probabilidad que resulta adecuado para los datos de cuenta es la distribución de probabilidad de Poisson

5)      La FPD de la distribución de Poisson está dado por:

                F(Y ) = λ^Y e^-λ /Y!  . Donde: Y_i = 0,1,2,3,…

6)      Para propósitos de calcula, se expresa el modelo como

                 Y_i  = λ^Y e^-λ / Y! +u_i

7)       La forma mas común de expresar λ_i es el modelo Ln-lineal

                Ln λ_i = B₀ + B₁ X_2i + B₂ X_2i + B₃ X_3i  + …. + B_k X_ki

8)      El numero esperado de eventos por periodo viene dado por:

                        B₀ + B₁ + B₁ X_1i + B₂ X_2i …+ B_k

                                                                                  X_ki

            E(Y_i / X_i ) = λ_i = e

9)      El efecto marginal o parcial que una regresora tienen sobre el valor medio de Y se obtiene de la siguiente manera:

Ø  E(Y) = λ =_e^{a+ bX1+ c X2+ …+ dXk}

Ø  ∂E(Y_i / X_i )/ ∂X_i = ∂E( λ  )/ ∂X_i = λ_i B_i

Ø  Es decir , la tasa de cambio del valor medio respecto a la regresora es igual al coeficiente de esa regresora multiplicado por el valor medio

10) En la función de distribución de Poisson E( Y_i/ X_i ) = Var( Y_i / X_i) , como el valor esperado depende de X_i la varianza también dependerá de X_i , y por lo tanto la regresión es heteroscedastica

11) El modelo se estima mediante métodos para estimar modelos de regresión no lineales

EJEMPLO DE APLICACIÓN

1)      Los datos son respecto de 100 individuos de 65 años de edad o mayores

2)       Y_i= Numero de caídas sufridas en un año por estos individuos

3)      X₁ : (0:si solo interviene la escolaridad, 1: si se trata de la escolaridad mas los ejercicios aeróbicos)

                X₂ : (0: si es mujer, 1: si es hombre)

                X₃: índice de equilibrio

                X₄ : índice de fortaleza

     4) E(Y) = λ =_e^{0.3702+1.10036X1+0.02194X2+0.01066X3+0.00927X4}

    5) Para encontrar el valor medio real para la i-esima persona, se necesita conocer los valores          de las variables explicativas X_i para esta persona.

6)      Por ejemplo si deseamos conocer  el valor medio estimado o esperado para el individuo 99 que tuvo estos valores observados: Y= 4; X₁= 0; X₂ = 1, X₃ = 50 y X₄ = 56

7)      => E(Y) = λ =_e^{0.3702+1.10036(0)+0.02194(1)+0.01066(50)+0.00927(56)}

8)      => λ₉₉ = 3.3538

9)      9) Si deseamos saber la probabilidad de que un individuo similar a la persona 99 sufra menos de cinco caídas al año, se puede obtener mediante:

10)   P(Y<5) = P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)

= (3.3538)⁰ e^-3.3538/0!+(3.3538)¹ e^-3.3538/1!+(3.3538)²e^-3.3538/2!+ (3.3538)³ e^-3.3538/3!+ (3.3538)⁴ e^-3.3538/4!

= (3.3538)⁰ e^-3.3538/1+(3.3538)¹ e^-3.3538/1+(3.3538)²e^-3.3538/2x1+ (3.3538)³ e^-3.3538/3x2x1+ (3.3538)⁴ e^-3.3538/4x3x2x1

= 0.7491= 74.91%