PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN
LINEAL POR EL METODO GRÁFICO
GUÍA PRÁCTICA Nº 2
· Aprender los fundamentos básicos necesarios para obtener la mejor solución de un problema de programación lineal.
· Poner en práctica los conocimientos teóricos, orientados a la solución de problemas de optimización de recursos.
· Conocer de una manera práctica y sencilla la solución de problemas de Programación Lineal por el Método Gráfico.
Solución Gráfica de un Problema de Programación Lineal.- Es un procedimiento que, gráficamente, soluciona un problema de Programación Lineal de 2 variables únicamente. Este procedimiento consta de dos pasos:
- Determinación de la región factible (RF) y
- Determinación de la solución óptima en esa región.
Además cabe resaltar que la solución óptima siempre está asociada a un punto de esquina de la región factible.
I. ASOCIE EL CARACTER VERDADERO (V) O FALSO (F)
| 1 | ( ) | Gráficamente se puede resolver un problema de Programación Lineal de dos variables y muchas restricciones. |
| 2 | ( ) | El procedimiento del método gráfico incluye dos pasos. Gráfica de las restricciones y gráfica de Z. |
| 3 | ( ) | Para graficar las restricciones, se deben de reemplazar las desigualdades por ecuaciones y después trazar las líneas rectas resultantes. |
| 4 | ( ) | Dentro del espacio de solución factible se encontrarán un número infinito de puntos que satisfacen todas las restricciones del modelo. |
| 5 | ( ) | La solución óptima esta asociada a un único punto de esquina del espacio de solución factible. |
II. ELIJA LA ALTERNATIVA CORRECTA
- En el método gráfico, todo incremento en la función objetivo hará que:
a) La recta Z se desplace hacia arriba en el caso de una maximización.
b) La recta Z se desplace hacia abajo en el caso de una minimización.
c) La recta Z se desplace hacia arriba en el caso de una minimización.
d) La recta Z se desplace hacia abajo en el caso de una minimización.
e) La recta Z se desplace hacia arriba (abajo), si la pendiente de la recta es negativa(positiva).
- La función objetivo se desplazará por el espacio o RF hasta que:
a) La recta Z llegue a un punto de esquina de la región factible.
b) La recta Z llegue al punto más alejado del origen de coordenadas.
c) La recta Z llegue al punto más distante del origen de coordenadas, si se trata de un problema de maximización.
d) La recta Z llegue al punto más cercano al origen de coordenadas, si se trata de un problema de minimización.
e) La recta Z quede fuera de los límites de la región factible debido a un incremento o decremento en su valor.
- Para que un problema de Programación Lineal tenga solución, es necesario que la RF:
a) Esté siempre acotada.
b) Contenga al origen de coordenadas como un punto de esquina.
c) Esté acotada si la pendiente de la función objetivo fuera negativa.
d) Esté acotada para el caso de maximización.
e) “a” o “c”.
III. RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
- ¿Cuáles son los pasos básicos para efectuar el procedimiento del Método Gráfico?
- ¿Cómo se determina el espacio geométrico de la región factible?
- ¿Por que la solución óptima está asociada con un punto de esquina de la región factible?
- Para el caso de maximización ¿Si la región factible no está acotada, que se debería de hacer con el modelo para que tenga solución?
IV. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
- Resolver gráficamente el siguiente problema de Programación Lineal
| Max Z = | 8 X1 | + 4 X2 | |
| s.a: | 2 X1 | + X2 | £ 10 |
| | X1 | + 3 X2 | £ 14 |
| | X1 | + X2 | £ 6 |
| | X1, | X2 | ³ 0 |
- Resolver gráficamente el siguiente problema:
| Min Z = | 2 X1 | + 3 X2 | |
| s.a: | X1 | + X2 | ³ 13 |
| | 2 X1 | + X2 | ³ 18 |
| | X1 | + 3 X2 | ³ 21 |
| | X1 | + 2 X2 | ³ 18 |
| | X1, | X2 | ³ 0 |
- Una empresa que opera 12 horas diarias, ensambla sus dos tipos de productos en tres procesos en secuencia, el primer y segundo proceso se realizan en 4 y 5 horas respectivamente. La siguiente tabla resume los datos del problema:
| Producto | Minutos por Unidad | Utilidad por Unidad | ||
| Proceso1 | Proceso 2 | Proceso 3 | ||
| Tipo 1 | 4 | 3 | 3.6 | S/. 8 |
| Tipo 2 | 4 | 6 | 1.8 | S/.10 |
Encuentre el Plan óptimo de producción
- El Mundo de las Maletas, fabrica 2 tipos de mochilas estilo viajero: (Mochilas Tipo 1 y 2 respectivamente). La mochila tipo 1 requiere el doble de tiempo de trabajo que la del tipo 2. Si se produjeran solamente mochilas del tipo 1, se podrían producir 20 mochilas al día. La demanda diaria de las mochilas tipo 1 y 2 son 15 y 20 respectivamente. sabiendo que las utilidades unitarias de las mochilas tipo 1 y 2 son S/. 6 y S/. 4 (respectivamente).
Encuentre el Plan óptimo de producción
- La bodega “ Dulita ”, propiedad de Ángel Quispe, vende las dos marcas de gaseosas más conocidas en el mercado, Coca Cola y Kola Real. El margen de utilidad por botella de 1 ½ litros de Coca Cola es de S/. 0.25, mientras que Kola Real aporta una ganancia de S/. 0.35.
En promedio, la tienda no vende más de 100 botellas de ambas gaseosas al día. Aun cuando Coca Cola es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más botellas de Kola Real, porque es considerablemente más económica. Se calcula que las ventas de Kola Real superan a las de Coca Cola en una razón de 2 a 1, por lo menos. Sin embargo, “ Dulita ”, vende como mínimo 25 botellas de Coca Cola al día.
Ayude a Ángel Quispe a maximizar su utilidad en la venta de las bebidas.
- Manuel Gonzáles, debe trabajar por lo menos 30 horas a la semana para ayudar en sus gastos mientras estudia en la universidad. Tiene la oportunidad de trabajar en dos cabinas de Internet: En R@pinet , Manuel puede trabajar entre 8 y 18 horas a la semana, y en Fl@sh.com le permiten trabajar 9 y 15 horas. Ambas cabinas pagan el mismo salario por hora. De manera que Manuel quiere basar su decisión acerca de cuantas horas debe trabajar en cada cabina en un criterio diferente: El factor de estrés en el trabajo. Basándose en una entrevista con los empleados actuales, Manuel calcula que, en una escala del 1 al 10, los factores de estrés son de 7 y 5 en la primera y segunda cabina respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, él supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en las cabinas.
Encontrar la solución que le permita a Manuel, conocer el número de horas que debe trabajar en cada cabina.
7. Gustavo Araujo, es un estudiante de universitario muy entusiasta. Él razona “ Sólo trabajo y nada de diversión “, lo convierte en un muchacho aburrido. Como resultado, Gustavo quiere distribuir su tiempo disponible de alrededor 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Él estima que el juego es el doble de divertido que el trabajo. También quiere estudiar tanto como juega. Sin embargo, si él quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de 4 horas al día.
Encuentre la manera en que Gustavo distribuya su tiempo de manera que maximice su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego.
8. La carpintería “ Rojas ”, de Miguel Ángel Rojas, emplea a cuatro carpinteros durante 20 días para ensamblar mesas y sillas. Se requiere de 1 hora para ensamblar una mesa y de 30 minutos para el ensamble de una silla. Por lo general, los clientes compran entre 2 y 6 sillas con cada mesa. Las utilidades son de S/.40.00 por mesa y S/.15.00 por silla. La carpintería opera en un turno de 8 horas al día.
Encuentre la solución que ayude a Miguel Rojas a determinar el plan de producción óptimo para los siguientes 20 días.
9. Financiera “ Solución ”, esta asignando un máximo de S/.100 000 para préstamos personales y préstamos para construcción de viviendas. La financiera cobra 14% de interés por préstamos personales y 12% para las viviendas. Ambos tipos de préstamos se liquidan al final del periodo de un año. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y el 2% para préstamos de vivienda nunca se liquidan. Por lo general, el banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos de vivienda.
Encuentre la solución que permita optimizar el uso de los recursos.
10. Conservas A1 tiene un contrato para recibir 50000kg de tomates maduros a S/.0.50 por Kg., con los cuales produce jugo de tomate enlatado y pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere de 1kg de tomate y una lata de pasta solo requiere de ½ Kg. La participación de mercado de la compañía se limita 1000 de jugo y 3000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de S/.15.00 y S/.10.00 respectivamente.
Encuentre la solución que permita obtener el máximo beneficio.
11. Carpintería “ M & C ” ensambla dos tipos de reposteros de cocina de madera: regulares y de lujo. Los reposteros regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto el pintado como el barnizado se llevan a cabo en el mismo departamento. La capacidad mensual del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 reposteros regulares y 180 reposteros de lujo. El barnizado de un repostero de lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura / barnizado se dedicara únicamente a las unidades de lujo, terminaría 200 unidades al mes. M & C calcula que las utilidades por unidad de los reposteros regulares y de lujo son de S/.50 y S/.80 respectivamente.
Encuentre la solución que permita obtener el beneficio óptimo.
12. Ferretería “ Barboza ” prepara dos tipos de pintura: Color Max y Color Star. El volumen de venta de Color Max es por lo menos el 80% de la venta de ambas pinturas. Sin embargo, la ferretería no puede vender más de 30 unidades de Color Max diariamente. Las dos pinturas utilizan para su elaboración un tipo de imprimante, cuya disponibilidad máxima diaria es de 70kg. Color Max utiliza 2kg de materia prima por unidad, mientras que Color Star 4kg. Los precios por un balde de pintura de Color Max y Color Star son de S/.15 y S/.25 respectivamente.
Encuentre la solución que permita obtener la máxima utilidad.
13. Marriot Hotel, en su sede de Arequipa, puede anunciar su diversidad de servicios en la radio o televisión local. El presupuesto para anuncios esta limitado a S/.100.00 al mes. Cada minuto de anuncio por radio cuesta S/.50 y cada minuto de comerciales por televisión cuesta S/.400. A Marriot Hotel-Arequipa le interesa utilizar los anuncios por radios por lo menos el doble de los anuncios por televisión. Por lo pronto, no es práctico utilizar más de 1000 minutos de anuncios por radio. La experiencia pasada muestra que los anuncios por televisión son más efectivos que los de radio, en la relación de 20 a 1.
Encuentre la solución que permita optimizar el uso de los recursos.
14. La empresa eléctrica “ Santa Rosa ”, afiliada a EDGEL, es propietaria de una plante generadora de energía con turbinas de vapor. Debido a que Santa rosa es rica en depósitos de carbón, la planta utiliza el mismo para generara el vapor. Sin embargo esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión.
Las regulaciones de Agencia de Protección Ambiental, limitan la descarga de dióxido de azufre a 2000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la planta a 20kg por hora. La empresa recibe dos grados de carbón pulverizado, CX1 y CX2, para ser utilizados en la planta. Por lo general, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Para facilidad en los cálculos, se supondrá que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón) es un promedio ponderado de la proporción de cada grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de 1 tonelada por hora de cada uno de los grados de carbón.
| Grado de Carbón | Azufre en Partes por Millón | Humo en Kg. / Hora | Vapor en Kg. / Hora |
| CX1 | 1800 | 2.1 | 12000 |
| CX2 | 2100 | 0.95 | 9000 |
Encuentre la solución que permita cumplir con las regulaciones de la Agencia de Protección Ambiental
- Confecciones Zarah, confecciona camisas para caballeros y blusas para damas para hipermercados Metro. Metro aceptará toda la producción que le proporciona Zarah. El proceso de producción incluye corte, costura y empacado. Zarah emplea a 25 trabajadores en el departamento de corte, a 35 en costura y 5 empacado. La fábrica trabaja un turno diario de 8h y 6 días ala semana.
La siguiente tabla proporciona los requerimientos de tiempo y las utilidades por unidad para las dos prendas.
| Estación | Minutos por Unidad | Utilidad por Unidad | ||
| Corte | Costura | Empacado | ||
| Camisa | 20 | 70 | 12 | S/. 5.00 |
| Blusa | 60 | 60 | 4 | S/. 6.00 |
Encuentre la solución que determine el programa de producción semanal para Zarah.
- Industrias “ Paquita ”, fabrica dos productos de limpieza para el hogar: Extra Clean y Súper Clean; procesando dos tipos de cloro: Tipo I y Tipo II. El procesamiento de un galón de cloro Tipo I cuesta S/.8 y produce medio galón de Extra Clean y 0.5 galones de Súper Clean. Mientras que el procesamiento de un galón de cloro Tipo II cuesta S/.6 y produce 0.6 galones de Extra Clean y 0.4 galones de Súper Clean. La demanda diaria de Extra Clean esta entre 1000 y 1500 galones y la Súper Clean entre 1200 y 2000 galones.
Encuentre la solución que determine la cantidad óptima de Extra Clean y Súper Clean que deba producir “ Paquita ” diariamente.
- Importaciones “ Hiraoka ”, posee una línea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas y produce dos modelos de radios SONY : CFD-1 y CFD-2. La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamble para las tres estaciones de trabajo.
Estación | Minutos por Unidad | |
CFD-1 | CFD-2 | |
| 1 | 6 | 4 |
| 2 | 8 | 2 |
| 3 | 4 | 4 |
El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consumen el 10%, 20% y 1/6, del máximo de 8 horas disponibles para cada estación al día.
Encuentre la solución que permita minimizar los tiempos inactivos (o no utilizados) en las tres estaciones de trabajo.
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