Econometria - Ejercicios modelo de Koyck

Ejercicios resueltos sobre el modelo de Koyck(2011-I)

1) Supuestos o postulados sobre la variable aleatoria del modelo de mínimos cuadrados ordinarios (MCO): el modelo Y_t = B₀  + B₀ X_t + u_t

a)      U_t sigue una distribución normal

b)      E( u_t )= 0, Para todo t

c)      Var(u_t ) = E ( u² ) =σ²

d)      E( u_t u_t-1) = 0; para todo t

e)      Cov(u_t X_t-1 ) = 0, para todo t

2) El no cumplimiento de los supuestos anteriores da origen a los siguientes hechos:

·        

El no cumplimiento del supuesto c) origina el problema de heteroscedstiicidad

·         El no cumplimiento del supuesto d) origina el problema de autocorrelacion

·         El no cumplimiento del supuesto d), da estimadores inconsistentes

3) INSESGADEZ:

En primer lugar, contar con un estimador insesgado nos asegura que el valor esperado de nuestro cálculo coincide con el valor real del parámetro. Éste requisito es fundamental a la hora de realizar una estimación, siendo la condición sinequanon para seguir realizando algunas comprobaciones estadísticas

E( B ) = B

CONSISTENCIA:

Los parámetros MCO son consistentes, es decir, que ampliando la muestra al total de la población, el valor estimado coincide con el real o dicho de otra forma, que cuando contamos con todos los datos, no una muestra, el cálculo de MCO da como resultado los parámetros reales, un cálculo exacto, luego con varianza igual a cero

 Es decir:

Plim(B) = B  =   P lim((Var(B)) = 0

n   -------->                    n---->

4) En el modelo de Koyck y el modelo de expectativas adaptativas los estimadores serán insesgados e inconsistentes:

·         Para el modelo de Koyck:

El modelo de Koyck es  : Y_t = α + B₀ X_t + λ Y_t-1  + V_t; donde v_t = u_t – λ u_t-1

En el modelo de Koyck demostrar que E( v_t v_t-1  ) = -λσ²

E( v_t v_t-1  )= E[(u_t – λ u_t-1)( u_t-1 – λ u_t-2)]= E[u_t  u_t-1  - λu_t u_t-2  -λ u²_t-1 + λ u_t-1  u_t-2  ]

E[u_t  u_t-1)  - E(u_t u_t-2 ) -λ E(u²_t-1 )+ λ E( u_t-1  u_t-2  )= 0-0- λσ²+0 =- λσ²

·         Para el modelo de Koyck: demostrar que Cov(v_t  Y_t-1  ) = - λσ²

Cov( v_t  Y_t-1  )= E(v_t  Y_t-1 ) – Y_t-1  V_t ( por definición de covarianza

= E(v_t  Y_t-1 ) – Y_t-1  E(V_t)

= E(v_t  Y_t-1 )= E( v_t (α + B₀ X_t-1 + λ Y_t-2 + V_t-1 ) )=   αE( V_t )  + B₀X_t-1 E ( v_t )+ λ E( v_t Y_t-2) + E( V_t  V_t-1  )=0+0+0  - λσ²

ð  Cov( v_t  Y_t-1  )= - λσ²

5) Poner el siguiente modelo en función de variables observables:

1)      Y^*_t = B₀ + B₁ X^*_t + u_t

2)      Es un modelo de ajuste de existencias  y es un modelo de expectativas adaptativas, por lo cual se usara las hipótesis respectivas que son:

3)      X*_t – X*_t-1 = θ ( X_t – X*_t-1 )=> X^*_t= θ X_t + (1-θ)X^*_t-1

4)      Y_t  - Y_t-1 = δ ( Y^*_t – Y_t-1)    => Y_t = δ Y^*_t + (1-δ ) Y_t-1

5)      Reemplazando (1) en (4):

6)      Y_t = δ (B₀ + B₁ X^*_t + u_t) + (1-δ ) Y_t-1  =>

 Y_t = δ (B₀) + δ B₁ X^*_t + δu_t + (1-δ ) Y_t-1 

7)      Reemplazando (3) en (6)

8)      Y_t = δ (B₀) + δ B₁ (θ X_t + (1-θ)X^*_t-1 ) + δu_t + (1-δ ) Y_t-1 

Y_t = δ (B₀) + δ θ  B₁ X_t + δ B₁ (1-θ)X^*_t-1 ) + δu_t + (1-δ ) Y_t-1 

9)      Escribiendo (6) para el period0 ( t-1):

Y_t-1 = δ (B₀) + δ B₁ X^*_t-1 + δu_t-1 + (1-δ ) Y_t-2

10)  Multiplicando (9) por (1-θ)

(1-θ)  Y_t-1 = δ (B₀)(1-θ) + (1-θ) δ B₁ X^*_t-1 +(1-θ) δu_t-1 + (1-θ)(1-δ ) Y_t-2

11)  Restando (10) de (8):

Y_t  - (1-θ)Y_t-1 = δ (B₀)- δ (B₀)(1-θ) + δ θ  B₁ X_t + [(1-δ)Y_t-1 -(1-θ)(1-δ ) Y_t-2+ δu_t-(1-θ) δu_t-1

Y_t = δ (B₀)(θ) + δ θ  B₁ X_t + [(1-θ)+(1-δ)]Y_t-1 - (1-θ)(1-δ ) Y_t-2+

 δu_t-(1-θ) δu_t-1